目錄
- 一、準備
- 二、三次樣條插值
- 三、最小二乘擬合
- 四、拉格朗日乘子法
一、準備
噪聲是在擬合過程中常用的干擾手段，常用的噪聲：
1.統一分布 U(a,b)
f ( x ) = { 1 i f a ≤ x b 0 o t h e r f(x)=\begin{cases}\begin{aligned}1\quad if\quad a\le xb \\ 0\quad other\end{aligned}\end{cases} f(x)={10ifa≤xbother
import numpy as np
x=np.random.uniform(a,b,100) #產生長度為100的U(a,b)
2.正態分布N( μ \mu μ, σ 2 \sigma^2 σ2)
import numpy as np
x=np.random.normal(mu, sig, 100) #產生長度為100的N(mu, sqart(sig))
二、三次樣條插值
def spline_fit():
size = 20
x = np.linspace(-10, 10, size)
y = np.sin(x) + np.random.normal(0, 0.1, size)
y2 = [0] * len(y)
# for y_i in y:
pp.plot(x, y)
cs = CubicSpline(x, y)
x2 = x = np.linspace(-10, 10, size * 100)
pp.plot(x2, cs(x2))
pp.show()
三、最小二乘擬合
def least_square():
f = lambda p0, xx: p0[0] * np.sin(xx * p0[1]) + p0[2]
LEN = 100
x = np.linspace(-1, 1, LEN)
y = x ** 2 + 5
# 默認情況，param只會返回求得的參數和返回的錯誤碼，1-4為成功，5-8為失敗，如果想輸出更多參數，可以指定full_out=1，可以看到出錯原因和其他參數
param = leastsq(lambda p0, xx, yy: f(p0, xx) - yy, (1, 1, 1), args=(x, y)) #初值的選擇比較重要，如果選取不當，容易陷入局部最優
print(param)
pp.scatter(x, y)
p0 = param[0]
pp.plot(x, f(p0, x))
pp.show()
最小二乘的初值選取非常重要，以下是三份完全相同的數據，雖然最后都收斂了，但是初值不同，得到了完全不同的擬合結果
初值為 ( 1 , 2 , 1 ) (1,2,1) (1,2,1)
初值為 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1)
初值為 ( 10 , 10 , 1 ) (10,10,1) (10,10,1)
四、拉格朗日乘子法
def lagrange()
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
e = 1e-10
fun = lambda x: 8 * (x[0] * x[1] * x[2]) # f(x,y,z) =8 *x*y*z
cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0] ** 2 + x[1] ** 2 + x[2] ** 2 - 1}, # x^2 + y^2 + z^2=1
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - e}, # x>=e等價于 x > 0
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - e},
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - e}
)
x0 = np.array((1.0, 1.0, 1.0)) # 設置初始值
res = minimize(fun, x0, method='SLSQP', constraints=cons)
print('最大值：', res.fun)
print('最優解：', res.x)
print('迭代終止是否成功：', res.success)
print('迭代終止原因：', res.message)
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