| 服裝種類 | 設備租金 | 材料成本 | 銷售價格 | 人工工時 | 設備工時 | 設備可用工時 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 單位 | （元） | （元/件） | （元/件） | （小時/件） | （小時/件） | （小時） |
| A | 5000 | 280 | 400 | 5 | 3 | 300 |
| B | 2000 | 30 | 40 | 1 | 0.5 | 300 |
| C | 2000 | 200 | 300 | 4 | 2 | 300 |
如果各類服裝的市場需求都足夠大，服裝廠每月可用人工時為 2000h，那么應該如何安排生產計劃使利潤最大？
首先要理解生產某種服裝就會發生設備租金，租金只與是否生產該產品有關，而與生產數量無關，這就是固定成本。因此本題屬于固定費用問題。
有些同學下意識地認為是從 3 種產品中選擇一種，但題目中并沒有限定必須或只能生產一種產品，因此決策結果可以是都不生產、選擇 1 種或 2 種產品、3 種都生產。
決策結果會是什么都不生產嗎？有可能的。
每種產品的利潤：（銷售價格 - 材料成本）× 生產數量 - 設備租金
本題中如果設備租金很高，決策結果就可能是什么都不做時利潤最大，這是利潤為 0，至少不虧。
現在可以用固定費用問題的數學模型來描述問題了：
編程求解建立的數學模型，用標準模型的優化算法對模型求解，得到優化結果。
模型求解的編程步驟與之前的線性規劃、整數規劃問題并沒有什么區別，這就是 PuLP工具包的優勢。
（0）導入 PuLP庫函數
import pulp
（1）定義一個規劃問題
FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值
pulp.LpProblem 用來定義問題的構造函數。"FixedCostP1"是用戶定義的問題名。
參數 sense 指定問題求目標函數的最小值/最大值 。本例求最大值，選擇 “pulp.LpMaximize” 。
（2）定義決策變量
x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary') # 定義 x1，0-1變量，是否生產 A 產品
x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary') # 定義 x2，0-1變量，是否生產 B 產品
x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary') # 定義 x3，0-1變量，是否生產 C 產品
y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer') # 定義 y1，整型變量
y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義 y2，整型變量
y3 = pulp.LpVariable('youCans', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer') # 定義 y3，整型變量
pulp.LpVariable 用來定義決策變量的函數。參數 cat 用來設定變量類型，' Binary ' 表示0/1變量（用于0/1規劃問題），' Integer ' 表示整數變量。'lowBound'、'upBound' 分別表示變量取值范圍的下限和上限。
（3）添加目標函數
FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設置目標函數 f(x)
（4）添加約束條件
FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 = 2000) # 不等式約束 FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 = 0) # 不等式約束 FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 = 0) # 不等式約束 FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 = 0) # 不等式約束
添加約束條件使用 "問題名 += 約束條件表達式" 格式。
約束條件可以是等式約束或不等式約束，不等式約束可以是 小于等于 或 大于等于，分別使用關鍵字">="、"="和"=="。
（5）求解
FixedCostP1.solve()
solve() 是求解函數，可以對求解器、求解精度進行設置。
import pulp # 導入 pulp 庫
# 主程序
def main():
# 固定費用問題(Fixed cost problem)
print("固定費用問題(Fixed cost problem)")
# 問題建模：
"""
決策變量：
y(i) = 0, 不生產第 i 種產品
y(i) = 1, 生產第 i 種產品
x(i), 生產第 i 種產品的數量, i>=0 整數
i=1,2,3
目標函數：
min profit = 120x1 + 10x2+ 100x3 - 5000y1 - 2000y2 - 2000y3
約束條件：
5x1 + x2 + 4x3 = 2000
3x1 = 300y1
0.5x2 = 300y2
2x3 = 300y3
變量取值范圍：Youcans XUPT
0=x1=100, 0=x2=600, 0=x3=150, 整數變量
y1, y2 ,y3 為 0/1 變量
"""
# 1. 固定費用問題(Fixed cost problem), 使用 PuLP 工具包求解
# (1) 建立優化問題 FixedCostP1: 求最大值(LpMaximize)
FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_1", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值
# (2) 建立變量
x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary') # 定義 x1，0-1變量，是否生產 A 產品
x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary') # 定義 x2，0-1變量，是否生產 B 產品
x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary') # 定義 x3，0-1變量，是否生產 C 產品
y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer') # 定義 y1，整型變量
y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義 y2，整型變量
y3 = pulp.LpVariable('yieldC', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer') # 定義 y3，整型變量
# (3) 設置目標函數
FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設置目標函數 f(x)
# (4) 設置約束條件
FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 = 2000) # 不等式約束
FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 = 0) # 不等式約束
FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 = 0) # 不等式約束
FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 = 0) # 不等式約束
# (5) 求解 youcans
FixedCostP1.solve()
# (6) 打印結果
print(FixedCostP1.name)
if pulp.LpStatus[FixedCostP1.status] == "Optimal": # 獲得最優解
for v in FixedCostP1.variables(): # youcans
print(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個變量的最優值
print("Youcans F(x) = ", pulp.value(FixedCostP1.objective)) # 輸出最優解的目標函數值
return
if __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPT
main()
Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.9.0
Build Date: Feb 12 2015
Result - Optimal solution found
Fixed_cost_problem_1
A = 1.0
B = 1.0
C = 1.0
yieldA = 100.0
yieldB = 600.0
yieldC = 150.0
Max F(x) = 24000.0
從固定費用問題模型的求解結果可知，A、B、C 三種服裝都生產，產量分別為 A/100、B/600、C/150 時獲得最大利潤為：24000。
通過從線性規劃、整數規劃、0-1規劃到上例中的混合0-1規劃問題，我們已經充分體會到 PuLP 使用相同的步驟和參數處理不同問題所帶來的便利。
但是，如果問題非常復雜，例如變量數量很多，約束條件復雜，逐個定義變量、逐項編寫目標函數與約束條件的表達式，不僅顯得重復冗長，不方便修改對變量和參數的定義，而且在輸入過程中容易發生錯誤。因此，我們希望用字典、列表、循環等快捷方法來進行變量定義、目標函數和約束條件設置。
PuLP 提供了快捷建模的編程方案，下面我們仍以上節中的固定費用問題為例進行介紹。本例中的問題、條件和參數都與上節完全相同，以便讀者進行對照比較快捷方法的具體內容。
（0）導入 PuLP 庫函數
import pulp
（1）定義一個規劃問題
FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值
（2）定義決策變量
types = ['A', 'B', 'C'] # 定義產品種類
status = pulp.LpVariable.dicts("生產決策", types, cat='Binary') # 定義 0/1 變量，是否生產該產品
yields = pulp.LpVariable.dicts("生產數量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義整型變量
本例中的快捷方法使用列表 types 定義 0/1 變量 status 和 整型變量 yields，不論產品的品種有多少，都只有以上幾句，從而使程序大為簡化。
（3）添加目標函數
fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000} # 各產品的 固定費用
unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100} # 各產品的 單位利潤
FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])
雖然看起來本例中定義目標函數的程序語句較長，但由于使用字典定義參數、使用 for 循環定義目標函數，因此程序更加清晰、簡明、便于修改參數、不容易輸入錯誤。
（4）添加約束條件
humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4} # 各產品的 單位人工工時
machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0} # 各產品的 單位設備工時
maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300} # 各產品的 最大設備工時
FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) = 2000 # 不等式約束
for i in types:
FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] = 0) # 不等式約束
快捷方法對于約束條件的定義與對目標函數的定義相似，使用字典定義參數，使用循環定義約束條件，使程序簡單、結構清楚。
注意本例使用了兩種不同的循環表達方式：語句內使用 for 循環遍歷列表實現所有變量的線性組合，標準的 for 循環結構實現多組具有相似結構的約束條件。讀者可以對照數學模型及上例的例程，理解這兩種定義約束條件的快捷方法。
（5）求解和結果的輸出
# (5) 求解
FixedCostP2.solve()
# (6) 打印結果
print(FixedCostP2.name)
temple = "品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產數量為：%(yields)d"
if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal": # 獲得最優解
for i in types:
output = {'type': i,
'status': '同意' if status[i].varValue else '否決',
'yields': yields[i].varValue}
print(temple % output) # youcans@qq.com
print("最大利潤 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優解的目標函數值
由于快捷方法使用列表或字典定義變量，對求解的優化結果也便于實現結構化的輸出。
import pulp # 導入 pulp 庫
# 主程序
def main():
# 2. 問題同上，PuLP 快捷方法示例
# (1) 建立優化問題 FixedCostP2: 求最大值(LpMaximize)
FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_2", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值
# (2) 建立變量
types = ['A', 'B', 'C'] # 定義產品種類
status = pulp.LpVariable.dicts("生產決策", types, cat='Binary') # 定義 0/1 變量，是否生產該產品
yields = pulp.LpVariable.dicts("生產數量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義整型變量
# (3) 設置目標函數
fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000} # 各產品的 固定費用
unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100} # 各產品的 單位利潤
FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])
# (4) 設置約束條件
humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4} # 各產品的 單位人工工時
machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0} # 各產品的 單位設備工時
maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300} # 各產品的 最大設備工時
FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) = 2000 # 不等式約束
for i in types:
FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] = 0) # 不等式約束
# (5) 求解 youcans
FixedCostP2.solve()
# (6) 打印結果
print(FixedCostP2.name)
temple = "品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產數量為：%(yields)d"
if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal": # 獲得最優解
for i in types:
output = {'type': i,
'status': '同意' if status[i].varValue else '否決',
'yields': yields[i].varValue}
print(temple % output)
print("最大利潤 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優解的目標函數值
return
if __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPT
main()
Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.9.0
Build Date: Feb 12 2015
Result - Optimal solution found
Fixed_cost_problem_2
品種 A 的決策是：同意，生產數量為：100
品種 B 的決策是：同意，生產數量為：600
品種 C 的決策是：同意，生產數量為：150
最大利潤 = 24000.0
本例的問題、條件和參數都與上節完全相同，只是采用 PuLP 提供的快捷建模的編程方案，優化結果也與 PuLP 標準方法完全相同，但本例使用了結構化的輸出顯示，使輸出結果更為直觀。
以上就是淺談Python數學建模之固定費用問題的詳細內容，更多關于Python 數學建模 固定費用的資料請關注腳本之家其它相關文章！
